Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC、AC上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合）EF∥AB．把△ABC沿直線EF翻折，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，設(shè)FC=x．
（1）求∠B的余切值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在△ABC的外部時(shí)，DE、DF分別交AB于M、N，若MN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；
（3）（下列所有問題只要直接寫出結(jié)果即可）以E為圓心、BE長為半徑的⊙E與邊AC．
①沒有公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；
②一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；
③兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）作AH⊥BC，垂足為H，先求出BH，再根據(jù)勾股定理求出AH，即可得出結(jié)果；
（2）先求出EC=

6

5

x，BE=12-

6

5

x，再求出ME=BE=12-

6

5

x，DM=DE-ME=

12

5

x-12，然后由EF∥MN，得出比例式

DM

DE

=

MN

EF

，即可求出y=2x-10，（5＜x＜10）；
（3）根據(jù)題意即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足為H，如圖1所示：
∵AB=AC=10，BC=12，
∴BH=CH=6，
∴AH=

102-62

=8，
∴cotB=

BH

AH

=

6

8

=

3

4

；


（2）如圖2所示：
∵EF∥AB，
∴

EC

BC

=

FC

AC

，
即

EC

12

=

x

10

，
∴EC=

6

5

x，
∴BE=12-

6

5

x，
∵∠CEF=∠DEF，EF∥AB，
∴∠BME=∠DEF，∠CEF=∠B，
∴∠BME=∠B，
∴ME=BE=12-

6

5

x，
∴DM=DE-ME=

12

5

x-12，
∵EF∥MN，
∴

DM

DE

=

MN

EF

，
即

12 5 x-12

6 5 x

=

y

x

，
∴y=2x-10，（5＜x＜10）；
（3）①當(dāng)0＜x＜

55

18

或

50

9

＜x＜10時(shí)，⊙E與邊AC沒有公共點(diǎn)；
②當(dāng)x=

50

9

或

55

18

≤x＜5時(shí)，⊙E與邊AC有一個(gè)公共點(diǎn)；
③當(dāng)5≤x＜

50

9

時(shí)，⊙E與邊AC有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及圓的切線等知識；構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)和由平行線得出比例式是解題的關(guān)鍵．