Question

1．如圖，四邊形ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)C、D在邊AB上，且AC=DB=1，點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和正方形BRQP，
（1）正方形AMNP和正方形BRQP的面積之和的最大值是26；
（2）E、F分別為MN、QR的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的面積公式得到正方形AMNP和正方形BRQP的面積之和，再配方可求它們的最大值；
（2）設(shè)KH中點(diǎn)為S，連接PE、ES、SF、PF、PS，可證明四邊形PESF為平行四邊形，判斷出G的運(yùn)行軌跡為△CSD的中位線，從而求出點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)正方形AMNP的邊長(zhǎng)為x，則正方形BRQP的邊長(zhǎng)為（6-x），依題意有
x²+（6-x）²=2x²-12x+36=2（x-3）²+18，
∵1≤x≤6-1=5，
∴正方形AMNP和正方形BRQP的面積之和的最大值是2×（1-3）²+18=26；

（2）設(shè)KH中點(diǎn)為S，連接PE、ES、SF、PF、PS，可證明四邊形PESF為平行四邊形，
∴G為PS的中點(diǎn)，即在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，G始終為PS的中點(diǎn)，
∴G的運(yùn)行軌跡為△CSD的中位線，
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4，
∴點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為$\frac{1}{2}$×4=2．
故答案為：26；2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)和軌跡，判斷出G的運(yùn)行軌跡為△CSD的中位線是解題的關(guān)鍵．