Question

1．如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM，射線AE于點(diǎn)F、D．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：直接寫出∠NDE=90度；
（2）拓展探究：試判斷，如圖②當(dāng)∠EAC為鈍角時，其他條件不變，∠NDE的大小有無變化？請給出證明．
（3）如圖③，若∠EAC=15°，BD=$\sqrt{2}$，直線CM與AB交于點(diǎn)G，其他條件不變，請直接寫出AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意證明△MAC≌△NBC即可；
（2）∠NDE的大小不變，證明△MAC≌△NBC，得到∠N=∠AMC，又∠MFD=∠NFC，所以∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°．
（3）先證明△MAC≌△NBC，所以∠NBC=∠MAC=15°，再證明∠BDH=∠ACH=90°，∠ABD=60°，求出AB=2$\sqrt{2}$，根據(jù)AC=AB•cos45°，即可解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°．
故答案為：90．
（2）∠NDE的大小不變，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∴∠MDF=∠FCN=90°，
即∠NDE=90°．
（3）AC=2，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=15°，
如圖③，設(shè)BC與AD交于點(diǎn)H，

又∵∠AHC=∠BHD，
∴∠BDH=∠ACH=90°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°
∵BD=$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC=AB•cos45°=2．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，三角形的內(nèi)角和，解決本題的關(guān)鍵是證明△MAC≌△NBC．