Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，且AD=1，BD=0.5，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計(jì)算題

分析：作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連結(jié)OD，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得點(diǎn)E、F為切點(diǎn)，則利用切線長(zhǎng)定理得CE=CF，由⊙O與AB相切于點(diǎn)D，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AD=AF=1，BE=BD=

1

2

，設(shè)CE=x，則BC=x+

1

2

，AC=x+1，然后在Rt△ABC中利用勾股定理得（x+

1

2

）²+（x+1）²=（1+

1

2

）²，解得x₁=

-3+ 17

4

，x₂=

-3- 17

4

（舍去），所以BC=

-1+ 17

4

，AC=

1+ 17

4

，再根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連結(jié)OD，如圖，
∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，
∴點(diǎn)E、F為切點(diǎn)，
∴CE=CF，
∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D
∴AD=AF=1，BE=BD=

1

2

，
設(shè)CE=x，則BC=x+

1

2

，AC=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC²+AC²=AB²，
∴（x+

1

2

）²+（x+1）²=（1+

1

2

）²，解得x₁=

-3+ 17

4

，x₂=

-3- 17

4

（舍去），
∴BC=

-1+ 17

4

，AC=

1+ 17

4

，
∴△ABC的面積=

1

2

•

-1+ 17

4

•

1+ 17

4

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了切線長(zhǎng)定理．