Question

13．如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（1，a），B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，直線OB與x軸的夾角為a，tana=$\frac{1}{2}$．
（1）求k的值及點(diǎn)B坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)．則當(dāng)△PAB的面積為2時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，a）代入y=2x，求出a=2，再把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；過B作BC⊥x軸于點(diǎn)C．在Rt△BOC中，由tanα=$\frac{1}{2}$，可設(shè)B（2h，h）．將B（2h，h）代入y=$\frac{2}{x}$，求出h的值，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由A（1，2），B（2，1），利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+3，那么直線AB與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)△PAB的面積為2列出方程$\frac{1}{2}$|3-m|×（2-1）=2，解方程即可求出m的值，可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入y=2x，
得a=2，
則A（1，2）．
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=1×2=2；
過B作BC⊥x軸于點(diǎn)C．
∵在Rt△BOC中，tanα=$\frac{1}{2}$，
∴可設(shè)B（2h，h）．
∵B（2h，h）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴2h²=2，解得h=±1，
∵h(yuǎn)＞0，∴h=1，
∴B（2，1）；

（2））∵A（1，2），B（2，1），
∴直線AB的解析式為y=-x+3，
設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（3，0）．
∵S_△PAB=S_△PAD-S_△PBD=2，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），
∴$\frac{1}{2}$|3-m|×（2-1）=2，
解得m₁=-1，m₂=7，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）或（7，0）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)的定義，三角形的面積，難度適中，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．