Question

如圖，菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD在x軸上，直線AB的解析式為y=

3

4

x+3，連接AM交y軸于M．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）動點P從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿射線AD方向運動，過P作PQ⊥BD于Q．設(shè)運動的時間為t秒，PQ的長度為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值使以P、Q、M、A為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）菱形是鄰邊相等的平行四邊形，求點D的坐標(biāo)，已知點A、B的坐標(biāo)（由解析式可得），可以先利用勾股定理求出AB的長度，然后再又AB=AD求得點D的坐標(biāo)．
（2）記AC、BD相交于點N，則若表示PQ的長，我們可以利用△AND∽△PQD，得到一個比例關(guān)系，進而可以由與t相關(guān)的PD表示PQ，從而確定y與t的函數(shù)關(guān)系式．注意P延AD方向運動，可能在D的左邊，也可能在D上，或在右邊，需要分開討論．
（3）已知AM∥PQ，現(xiàn)只需得到AM=PQ，即可得到四邊形AMQP為平行四邊形，所以先求出AC直線方程確定M點坐標(biāo)，然后根據(jù)（2）的結(jié)論就可以得到關(guān)于t的方程，進而求得t．

解答：解：（1）由直線y=

3

4

x+3交x軸、y軸分別于A、B兩點，所以A點坐標(biāo)為（-4，0），B點坐標(biāo)為（0，3）
在Rt△AOB中，
∵AO=4，BO=3
∴AB=5
在菱形ABCD中
∵AB=BC=CD=AD=5，BC∥AD
∴C點坐標(biāo)為（5，3），D點坐標(biāo)為（-1，0）
（2）如圖，

記菱形對角線AC、BD相交于點，根據(jù)題意在AD上任找一點P，過點P作PQ⊥ND于Q，則∠AND=90°．
∵∠PQD=∠AND=90°
∴PQ∥AN
∴

PD

PQ

=

AD

AN

在Rt△BOD中，
∵BO=3，OD=1
∴BD=

10

∴ND=

1

2

BD=

10

2

在Rt△AND中，
∵AD=5，ND=

10

2

∴AN=

3 10

2

∵AP=t
∴PD=5-t
∴

5-t

PQ

=

5

3 10 2

∴PD=-

3 10

10

t+

3 10

2

即y=-

3 10

10

t+

3 10

2

 (0≤t＜5)
如圖，

在AD的延長線上任找一點P′，過P′作P′Q′⊥BD于Q′
同理有

P′D

P′Q′

=

AD

AN

，AP′=t
∵P′D=AP′-AD=t-5
∴P′Q′=

3 10

10

t-

3 10

2

即y=

3 10

10

t-

3 10

2

（t＞5）
則y與t之間的函數(shù)關(guān)系為y=

- 3 10 10 t+ 3 10 2 ，(0≤t＜5)       0                  ，(t=5) 3 10 10 t- 3 10 2     ，(t＞5)

（3）∵PQ∥AM
∴若有PQ=AM，則由PQAM為頂點的四邊形就為平行四邊形
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-4，0），C（5，3）代入整理得，直線AC的解析式為y=

1

3

x+

4

3

∵M在直線AC上
∴M的坐標(biāo)為(0，

4

3

)
在Rt△AOM中
∵AO=4，MO=

4

3

∴AM=

4 10

3

當(dāng)0≤t＜5時，

4 10

3

=-

3 10

10

t+

3 10

2

，解得t=

5

9

當(dāng)t＞5時，

4 10

3

=

3 10

10

t-

3 10

2

，解得t=

85

9

（如圖，應(yīng)有此兩種情況，本題不需要輔助線，此圖僅輔助理解）

故當(dāng)

5

9

s和

85

9

s時，A、M、P、Q四點為頂點組成的四邊形為平行四邊形．

點評：此題難度較大，綜合運用知識較多．菱形的性質(zhì)是求解第一問的關(guān)鍵，要充分利用其為鄰邊相等的平行四邊形這個定義．第二問的整體難度不算太高，但是想得高分很難，因為我們常常忽略P點運動到D點右邊的情形，所以對于動點問題養(yǎng)成緊抓題干字眼，考慮遍所有情形等習(xí)慣才能讓我們的試卷錦上添花．第三問其實向我們傳遞著一個做綜合題的技巧，這一問的思路往往是緊扣上一問的結(jié)論的．我們由第二問得到了PQ長度的關(guān)系，那么僅僅利用函數(shù)的思想就可以輕松的解決第三問結(jié)論，如果另當(dāng)新題，恐怕思路難以找尋．