Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD為邊AB上的中線(xiàn)，E是邊CA上任意一點(diǎn)，DF⊥DE，交BC于F點(diǎn)．G為EF的中點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H．
（1）說(shuō)明：AE=CF；
（2）連接DG，說(shuō)明：CG=GD；
（3）若AE=1，CH=4，求邊AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）通過(guò)全等三角形（△AED≌△CFD）的對(duì)應(yīng)邊相等證得AE=CF；
（2）根據(jù)Rt△ECF和Rt△EDF斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)證明CG=GD；
（3）求出EF的長(zhǎng)是4，在Rt△ECF中，CF=1，根據(jù)勾股定理求出EC，即可求出AC．

解答：解：（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵CD為AB邊上的中線(xiàn)，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△AED和△CFD中，

∠A=∠DFC amp;  AD=CD amp;  ∠ADE=∠CDF amp;

 
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
（2）∵∠ACB=90°，G為EF的中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

EF，
∵DF⊥DE，G為EF的中點(diǎn)，
∴GD=

1

2

EF，
∴CG=GD；
（3）∵AC=BC，CD是AB邊上的中線(xiàn)，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵CG=DG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=

1

2

CH=2，
∵G為EF的中點(diǎn)，
∴DG=

1

2

EF，
∴EF=4，
∵AE=1，
∴CF=AE=1，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
CE=

42-12

=

15

，
∴AC=CE+AE=

15

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上1的中線(xiàn)性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．