Question

5．如圖，已知，A（0，4），B（-3，0），C（2，0），D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過D點(diǎn)．
（1）證明四邊形ABCD為菱形；
（2）求此反比例函數(shù)的解析式；
（3）已知在y=$\frac{k}{x}$的圖象（x＞0）上一點(diǎn)N，y軸正半軸上一點(diǎn)M，且四邊形ABMN是平行四邊形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A（0，4），B（-3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，可得AB=AD，BC=DC，即可證得AB=AD=CD=CB，繼而證得四邊形ABCD為菱形；
（2）由四邊形ABCD為菱形，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求得此反比例函數(shù)的解析式；
（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（-3，0），C（2，0），
∴OA=4，OB=3，OC=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，BC=5，
∴AB=BC，
∵D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，
∴AB=AD，CB=CD，
∴AB=AD=CD=CB，
∴四邊形ABCD為菱形；

（2）∵四邊形ABCD為菱形，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過D點(diǎn)，
∴4=$\frac{k}{5}$，
∴k=20，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{20}{x}$；

（3）∵四邊形ABMN是平行四邊形，
∴AN∥BM，AN=BM，
∴AN是BM經(jīng)過平移得到的，
∴首先BM向右平移了3個單位長度，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
代入y=$\frac{20}{x}$，
得y=$\frac{20}{3}$，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了菱形的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握坐標(biāo)與圖形的關(guān)系是關(guān)鍵．