Question

設(shè)關(guān)于x的方程（a-b）³x²+（a²-3ab+2b²）x+a+b=0的根都是整數(shù)，且a-b是非零整數(shù)，求b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：首先利用韋達(dá)定理得出a，b的關(guān)系，進(jìn)而利用已知方程的根都是整數(shù)，得出符合題意的答案．

解答：解：若a-b=0，方程化為a+b=0，有無窮多個(gè)根，不合題意，
若a-b≠0，令（a-b）x=t，則t為整數(shù)，且（a-b）t²+（a-2b）t+（a+b）=0是關(guān)于t的二次方程，
由韋達(dá)定理得：
t₁+t₂=

2b-a

a-b

，t₁t₂=

a+b

a-b

，
故t₁t₂-2（t₁+t₂）=3，
所以，（t₁-2）（t₂-2）=7，
不妨設(shè)t₁≥t₂，有

t1-2=7 t2-2=1

或

t1-2=-1 t2-2=-7

，
解得：

t1=9 t2=3

或

t1=1 t2=-5

，
則

2b-a a-b =12 a+b a-b =27

或

2b-a a-b =-4 a+b a-b =-5

，
解得：13a=14b或2b=3a，
（1）若13a=14b，則a-b=

1

13

b為整數(shù)，
所以，b為整數(shù)且13|b，
又（a-b）x=t=

1

13

bx=3或9，于是，bx=39或117，
∵x是整數(shù)，b為整數(shù)且13|b，bx=39或117，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，則b_最小=-117，
（2）若2b=3a，則a-b=-

1

3

b，
所以，b為整數(shù)且3|b，
又（a-b）x=t=-

1

3

bx=1或-5，于是，bx=-3或15，
∵x是整數(shù)，b為整數(shù)且3|b，bx=-3或15，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，則b_最小=-15，
綜上，b最小為-117．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，得出a，b的關(guān)系是解題關(guān)鍵．