Question

如圖1，把一張長方形的紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在E處，BE交AD于點F．
（1）求證：FB=FD；
（2）如圖2，連接AE，求證：AE∥BD；
（3）如圖3，延長BA，DE相交于點G，連接GF并延長交BD于點H，求證：GH垂直平分BD．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF；
（2）根據(jù)長方形的性質(zhì)可得和三角形內(nèi)角和定理可得∠AEF=∠FBD，再根據(jù)平行線的判定即可求解；
（3）先SSS證明△ABD≌△EDB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)即可求解．

解答：證明（1）∵△BCD≌△BED，
∴∠DBC=∠EBD，
又∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，
∴BF=DF．

（2）∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD=BC=BE，
又∵FB=FD，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF+∠AFE=2∠FBD+∠BFD=180°，
∴∠AEF=∠FBD，
∴AE∥BD；

（3）∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，
在△ABD與△EDB中，

AD=BE AB=DE BD=DB

∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠ABD=∠EDB，
∴GB=GD，
又∵FB=FD，
∴GF是BD的垂直平分線，即GH垂直平分BD．

點評：本題考查了：
①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；
②全等三角形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，三角形的內(nèi)角和，平行線的判定求解．