Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，連接AD并延長，與三角形ABC的外接圓交于點E．
（1）求證：AB²=AD•AE；
（2）若點D在BC的延長線上，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BE，由條件可得∠AEB=∠ABD，可證得△ABD∽△AEB，可得

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AD•AE；
（2）仍然成立，同理可證得△ABD∽△AEB，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：連接BE，如圖1，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且∠AEB=∠ACB（同弧所對的圓周角），
∴∠AEB=∠ABD，
在△ABD和△AEB中，∠BAD=∠EAB，∠ABD=∠AEB，
∴△ABD∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AD•AE；
（2）解：仍然成立，證明如下：
連接BE，如圖2，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且∠AEB=∠ACB（同弧所對的圓周角），
∴∠AEB=∠ABD，
在△ABD和△AEB中，∠BAD=∠EAB，∠ABD=∠AEB，
∴△ABD∽△AEB，
∴

AB

AE

=

AD

AB

，即AB²=AD•AE．

點評：本題主要考查圓周角定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，找到∠AEB=∠ABD是解題的關(guān)鍵．證明線段的積相等，把線段積化成比例證明三角形相似是這類問題的解題思路．