Question

如圖，⊙O₁與y軸切于點(diǎn)C（0，-2），與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，A（-1，0），雙曲線y=

k

x

過點(diǎn)O，點(diǎn)P在雙曲線上，PE⊥x軸，垂足為E，求△PEO的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：作O₁H⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙O₁的半徑為r，由于⊙O₁與y軸切于點(diǎn)C，根據(jù)切線性質(zhì)得O₁C⊥y軸，O₁C=r，易判斷四邊形O₁COH為矩形，所以O(shè)₁H=OC=2，OH=O₁C=r，在Rt△AO₁H中，利用勾股定理得到2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，則得到點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（-

5

2

，-2），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得k=5，即反比例函數(shù)解析式為y=

5

x

，然后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到S_△PEO．

解答：解：作O₁H⊥AB于H，如圖，設(shè)⊙O₁的半徑為r，
∵⊙O₁與y軸切于點(diǎn)C，
∴O₁C⊥y軸，O₁C=r，
∴四邊形O₁COH為矩形，
∴O₁H=OC=2，OH=O₁C=r，
在Rt△AO₁H中，O₁A=r，AH=OH-OA=r-1，
∵O₁H²+AH²=O₁A²，
∴2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，
∴點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（-

5

2

，-2），
∵雙曲線y=

k

x

過點(diǎn)O₁，
∴k=-

5

2

×（-2）=5，
即反比例函數(shù)解析式為y=

5

x

，
∴S_△PEO=

1

2

|k|=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)和反比例函數(shù)k的幾何意義；會(huì)利用勾股定理建立等量關(guān)系求未知量；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．