Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x-3與拋物線y=x²+mx+n相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上．
（1）n=3m-9（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若點(diǎn)B為該拋物線的頂點(diǎn)，求m、n的值；
（3）①設(shè)m=-2，當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，求二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)A坐標(biāo)（-3，0）代入拋物線解析式即可．
（2）利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線解析式即可．
（3）分三種情形①當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-3時(shí)②當(dāng)-3＜-$\frac{m}{2}$≤0時(shí)③當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞0時(shí)，分別列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)（-3，0）代入拋物線y=x²+mx+n，得9-3m+n=0，
∴n=3m-9．
故答案為3m-9．
（2）∵拋物線為y=x²+mx+3m-9=（x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9，
∴頂點(diǎn)為（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9），
∴-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9=$\frac{m}{2}$-3，
整理得m²-10m+24=0，
∴m=4或6．
∴m=4，n=3和m=6，n=9．
（3）∵-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-4，y=x²+mx+3m-9=（x+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9，
①當(dāng)-$\frac{m}{2}$≤-3時(shí)，x=-3時(shí)，y=-4，
∴9-3m+3m-9=-4，
無(wú)解不合題意．
②當(dāng)-3＜-$\frac{m}{2}$≤0時(shí)，x=-$\frac{m}{2}$時(shí)，y=-4，
∴-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9=-4，
∴m=2或-10（舍棄）
∴m=2．
③當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞0時(shí)，x=O時(shí)，y=-4，
∴3m-9=-4，
∴m=$\frac{5}{3}$不合題意舍棄．
綜上所述m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．