Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于點(diǎn)M，D為AC上一點(diǎn)，延長AB到點(diǎn)E，使CD=BE，連接DE，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DH∥AB，交BC于點(diǎn)H，G是CH的中點(diǎn)．
（1）求證：DF=EF．
（2）試判斷GH，HF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明DF=EF，只要證明△DGF≌△EBF即可．
（2）結(jié)論：GH+HF=$\frac{1}{2}$BC．只要證明FH=FB，由CG=GH，由此即可解決問題．

解答 證明：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DH∥AB，
∴∠DHC=∠ABC，∠DHF=∠EBF，
∴DH=DC，
∵DC=BE，
∴DH=BE，
在△DHF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHF=∠EBF}\\{∠DFH=∠EFB}\\{DH=BE}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△EBF，
∴DF=EF．

（2）結(jié)論：GH+HF=$\frac{1}{2}$BC．
理由：∵△DGF≌△EBF，
∴FH=BF，
∵CG=GH，
∴GH+FH=$\frac{1}{2}$CH+$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$（CH+BH）=$\frac{1}{2}$BC．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．