Question

如圖，⊙O是以等腰Rt△ABC的斜邊AB為直徑的圓，點P是BA的延長線上的一點，過點P作⊙O的一條切線，切點為點Q，∠QPB的平分線交AC、BC于點E、F．
（1）求證：P、A、E、Q四點共圓．
（2）若AE=a，BF=b，求EF的長．

Answer 1

考點：四點共圓,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),切線的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）連接OQ、QE、QA，如圖1，要證P、A、E、Q四點共圓，只需證到∠PQA=∠PEA，易證∠PEA=45°-

1

2

∠QPO，只需證到∠PQA=45°-

1

2

∠QPO，只需將∠PQA轉(zhuǎn)化為∠OQA，將∠OQA轉(zhuǎn)化為∠AOQ，將∠AOQ轉(zhuǎn)化為∠QPO即可解決問題；
（2）連接OE、OF、OC，如圖2，由P、A、E、Q四點共圓，∠QPE=∠EPA可得EQ=EA，從而證到△AEO≌△QEO，則有∠AOE=∠QOE，由此可得到∠FEO=45°=∠FCO，由此可得C、E、O、F四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠EOF=90°，進(jìn)而可證到△AEO≌△CFO，從而有CF=AE=a，進(jìn)而可得CE=b，然后在Rt△ECF中運用勾股定理就可求出EF的長．

解答：解：（1）連接OQ、QE、QA，如圖1．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∵PF平分∠QPO，
∴∠QPE=∠EPA=

1

2

∠QPO．
∵PQ是⊙O的切線，
∴∠PQO=90°，
∴∠QOP=90°-∠QPO．
∵OQ=OA，
∴∠AQO=∠QAO=

1

2

（180°-∠QOP）
=

1

2

（180°-90°+∠QPO）
=45°+

1

2

∠QPO，
∴∠PQA=90°-∠AQO=90°-（45°+

1

2

∠QPO）
=45°-

1

2

∠QPO=∠CAB-∠EPA=∠PEA，
∴P、A、E、Q四點共圓．

（2）連接OE、OF、OC，如圖2．
∵P、A、E、Q四點共圓，∠QPE=∠EPA
∴EQ=EA．
在△QEO和△AEO中，

OQ=OA OE=OE EQ=EA

，
∴△QEO≌△AEO（SSS），
∴∠QOE=∠AOE．
∵∠QPE+∠EPA+∠EOP+∠QOE=90°，
∴2∠EPA+2∠EOP=90°，
∴∠EPA+∠EOP=45°，
∴∠FEO=∠EPA+∠EOP=45°．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠FEO=∠FCO=45°，
∴C、E、O、F四點共圓，
∴∠EOF+∠ECF=180°，
∴∠EOF=90°．
∵∠AOC=2∠B=90°，
∴∠EOF=∠AOC，
∴∠AOE=∠COF．
在△AEO和△CFO中，

∠AOE=∠COF OA=OC ∠EAO=∠FCO=45°

，
∴△AEO≌△CFO（ASA）．
∴AE=CF=a，
∴AC=BC=CF+BF=a+b，
∴CE=AC-AE=b．
∵∠ECF=90°，
∴EF=

CF2+CE2

=

a2+b2

．

點評：本題主要考查了四點共圓的判定、切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性比較強，難度比較大．證到∠PQA=45°-

1

2

∠QPO=∠PEA是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到C、E、O、F四點共圓及△AEO≌△CFO是解決第（2）小題的關(guān)鍵．