Question

8．如圖在給定的一張平行四邊形紙片上作一個(gè)菱形，甲、乙兩人的作法如下：
甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形．
乙：分別作∠BAD，∠ABC的平分線AE，BF，分別交BC，AD于E，F(xiàn)，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．
根據(jù)兩人的作法請(qǐng)分別做出判斷，并證明．

Answer 1

分析 對(duì)于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，則可證明△AOPM≌△CON，所以O(shè)M=ON，于是根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ANCM是菱形；
對(duì)于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，則∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可證明四邊形ABEF為平行四邊形，再加上鄰邊相等可判斷四邊形ANCM是菱形．

解答 解：甲、乙做法都正確．
甲做法：
證明：∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAO=∠NCO}\\{OA=OC}\\{∠AOM=∠CON}\end{array}\right.$，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四邊形ANCM是菱形；
乙做法：
證明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
∵BE∥AF，
∴四邊形ABEF為平行四邊形
又∵AB=BE，
∴四邊形ANCM是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了菱形的判定．