Question

2．已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²-（m+1）x+m²+2m
（1）求證：二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）若二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=4，
①求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)平移方案，使平移后的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）與x軸相交，即y=0，得到$\frac{1}{4}$x²-（m+1）x+m²+2m=0，根據(jù)根的判別式求出b²-4ac＞0即可；
（2）①根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式，列出關(guān)于m的一元一次方程，求出m的值，得到拋物線解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可解答；
②將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，即可經(jīng)過原點(diǎn)．

解答 （1）證明：令y=0，得$\frac{1}{4}$x²-（m+1）x+m²+2m=0，
∵△=b²-4ac=[-（m+1）]²-4×$\frac{1}{4}$×（m²+2m）=1＞0，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：①∵拋物線的對(duì)稱軸為x=4，
∴$-\frac{2a}=-\frac{-（m+1）}{2×\frac{1}{4}}=4$，解得：m=1，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3，
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}=\frac{4×\frac{1}{4}×3-4}{4×\frac{1}{4}}=-1$，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1）；
②∵拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3與y軸交于點(diǎn)（0，3），
∴將拋物線向下平移3個(gè)單位長度，即可經(jīng)過原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即相應(yīng)的一元二次方程的解是解決第（1）題的關(guān)鍵，解決第（2）小題的關(guān)鍵是能熟記拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式．