Question

如圖，AB是⊙O的弦，點C在⊙O內(nèi)，∠ABC=∠OCB=60°，若BC=6，OC=4，求弦AB和⊙O半徑的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長CO交AB于E，過O作OQ⊥AB于Q，連接OB，得出等邊三角形EBC，求出OE，解直角三角形求出QE，OQ，根據(jù)勾股定理求出OB，即可得出答案．

解答：解：
延長CO交AB于E，過O作OQ⊥AB于Q，連接OB，
則由垂徑定理得：AB=2BQ，
∵∠ABC=∠OCB=60°，
∴BE=CE，
∵BC=6，
∴三角形EBC是等邊三角形，邊長為6，
∴OE=6-4=2，BE=6，∠BEC=60°，
∵OQ⊥AB，
∴∠EQO=90°，
∴∠QOE=30°，
∴QE=

1

2

OE=1，OQ=

3

，
在Rt△OBQ中，BQ=6-1=5，OQ=

3

，由勾股定理得：OB=

52+( 3 )2

=2

7

，
即AB=2BQ=10，⊙O半徑的長是2

7

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．