Question

11．如圖，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，頂點A、D分別在∠ABC的兩邊BA、BC上滑動（不與點B重合），△ADE的外接圓交BC于點F，點D在點F的右側(cè)，O為圓心．
（1）求證：△ABD≌△AFE
（2）若AB=4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，求⊙O的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形得∠ADE=45°，則∠ABD=∠AFE，再利用同弧所對的圓周角相等可知：∠AEF=∠ADB，根據(jù)AAS證明△ABD≌△AFE；
（2）由全等可知：BD=EF，∠EAF=∠BAD，因此設(shè)BD=x，則EF=x，根據(jù)等式的性質(zhì)得∠BAF=∠EAD=90°，則△ABF是等腰直角三角形，計算得BF=8，則DF=x-8，根據(jù)勾股定理得BE²=EF²+BF²，求出x的取值為8＜x≤12，同時由圓的面積公式計算得：S=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，根據(jù)二次函數(shù)的增減性得出：16π＜S≤40π．

解答 解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，
∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AE}$，
∴∠ADE=∠AFE=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠AFE，
∵$\widehat{AF}=\widehat{AF}$，
∴∠AEF=∠ADB，
∵AF=AF，
∴△ABD≌△AFE；
（2）∵△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∵$AB=4\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos∠ABF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{cos45°}$=8，
設(shè)BD=x，則EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，$8\sqrt{2}$＜BE≤$4\sqrt{13}$，
∴128＜EF²+8²≤208，
∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，
則$S=\frac{π}{4}D{E^2}=\frac{π}{4}[{{x^2}+{{（x-8）}^2}}]=\frac{π}{2}{（x-4）^2}+8π$，
∵$\frac{π}{2}$＞0，
∴拋物線的開口向上，
又∵對稱軸為直線x=4，
∴當(dāng)8＜x≤12時，S隨x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．

點評 本題是圓的綜合題，綜合考查了等腰直角三角形、三角函數(shù)和二次函數(shù)及圓的性質(zhì)；本題要想求出圓面積的取值，從圓的面積公式入手，知道圓的面積與直徑DE有關(guān)，因此可設(shè)DE或與DE有關(guān)系的邊為x，根據(jù)等量關(guān)系列式得一函數(shù)，再利用該函數(shù)的最值問題求出結(jié)論．