Question

如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線(xiàn)GA的垂線(xiàn)，垂足分別為P、Q．
（1）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若連接EF交GA的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若BC=AG=24，請(qǐng)直接寫(xiě)出S_△AEF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，∠PEA=∠BAG，根據(jù)AAS推出△EPA≌△AGB，推出EP=AG，同理△FQA≌△AGC，AG=FQ，即可得出答案．
（2）求出∠EPH=∠FQH=90°，根據(jù)AAS推出△EPH≌△FQH即可；
（3）根據(jù)全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S_△FQAS_△AGC，S_△FQH=S_△EPH，S_△EPA=S_△AGB，即可求出S_△AEF=S_△ABC，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答：（1）EP=FQ，
證明：∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，
∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△EPA和△AGB中，

∠EPA=∠BGA ∠PEA=∠BAG AE=AB

，
∴△EPA≌△AGB（AAS），
∴EP=AG，
同理△FQA≌△AGC，
則AG=FQ，
∴EP=FQ；

（2）解：EH=FH，
理由是：∵EP⊥AG，F(xiàn)Q⊥AG，
∴∠EPH=∠FQH=90°，
在△EPH和△FQH中，

∠EHP=∠FHQ ∠EPH=∠FQH EP=FQ

，
∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH=FH；

（3）∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，
∴S_△FQAS_△AGC，S_△FQH=S_△EPH，S_△EPA=S_△AGB，
∴S_△AEF=S_△EPA+S_△FQA
=S_△AGB+S_△AGC
=S_△ABC
=

1

2

×BC×AG
=

1

2

×24×24
=288．
故答案為：288．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，全等三角形的面積相等．