Question

已知反比例函數(shù)y=

k

2x

與一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（a，b）和（a+1，b+k）兩點(diǎn)
（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知A在第一象限且同時在上述兩個函數(shù)圖象上，求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，求出其坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）把點(diǎn)（a，b）和（a+1，b+k）兩點(diǎn)分別代入y=2x-1得到b=2a-1，b+k=2（a+1）-1，然后消去a、b即可得到k=2，則可確定反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題解方程組

y=2x-1 y= 1 x

可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；
（3）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出OA=

2

，然后分類討論：當(dāng)△AOP為等腰三角且以點(diǎn)OA、OP為腰，則以O(shè)點(diǎn)為圓心

2

為半徑作圓，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)；當(dāng)△AOP為等腰三角且以點(diǎn)AO、AP為腰，則以A點(diǎn)為圓心

2

為半徑作圓，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)；當(dāng)△AOP為等腰三角且以點(diǎn)PA、PO為腰，則OA的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為P，再根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別寫出滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解1）把點(diǎn)（a，b）和（a+1，b+k）兩點(diǎn)分別代入y=2x-1得
b=2a-1，b+k=2（a+1）-1，
∴2a-1+k=2a+2-1，解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

2x

=

1

x

；
（2）解方程組

y=2x-1 y= 1 x

得

x=- 1 2 y=-2

或

x=1 y=1

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；
（3）存在．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；
∴OA=

2

，
當(dāng)△AOP為等腰三角且以點(diǎn)OA、OP為腰，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，0）、（0，

2

）、（-

2

，0）、（0，-

2

）；
當(dāng)△AOP為等腰三角且以點(diǎn)AO、AP為腰，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）、（0，2）；
當(dāng)△AOP為等腰三角且以點(diǎn)PA、PO為腰，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）、（0，1）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．