Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是A（4，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)是C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)是F，對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)是N，P是在AC上方的該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，交AC于M．若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m．問(wèn)：
①m取何值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P、M、N、F的平面圖形不是梯形？
②四邊形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；
（2）設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

t²+

5

2

t-2，過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．即可求得DE的長(zhǎng)，繼而可求得S_△DCA=-（t-2）²+4，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；
（3）首先設(shè)P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2），由于PM⊥x軸，F(xiàn)N是對(duì)稱軸，可得PM∥FN，當(dāng)PM=FN時(shí)P、M、N、F的平面圖是平行四邊形，不是梯形，從而求出m的值為

3

2

，根據(jù)題意可知求得P點(diǎn)的關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，正好與A點(diǎn)重合，所以只能構(gòu)成等腰三角形，構(gòu)不成等腰梯形．

解答：解：（1）∵該拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入y=ax²+bx-2，
得

16a+4b-2=0 a+b=0

，
解得：

a=- 1 2 b= 5 2

．
∴該拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如圖1，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

t²+

5

2

t-2．
過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．
設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n，
則

n=-2 4m+n=0

解得：

m= 1 2 n=-2

，
由題意可求得直線AC的解析式為y=

1

2

x-2．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DCA=S_△CDE+S_△ADE=

1

2

×DE×OA=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=4．
∴當(dāng)D（2，1），△DAC面積的最大值為4．

（3）存在．∵y=-

1

2

x²+

5

2

x-2=-

1

2

（x-

5

2

）²+

9

8

．
∴F（

5

2

，

9

8

）
①Ⅰ當(dāng)P和F重合時(shí)，P、M、N、F成一條直線，不能構(gòu)成梯形，此時(shí)m=

5

2

．
Ⅱ如圖2，設(shè)P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）（0＜m＜

5

2

）．作PM⊥x軸，F(xiàn)N是對(duì)稱軸，
∴PM∥FN
∴當(dāng)PM=FN時(shí)P、M、N、F的平面圖是平行四邊形，不是梯形．
由于N（

5

2

，-

3

4

），M（m，

1

2

m-2）
∴PM（-

1

2

m²+

5

2

m-2）-（

1

2

m-2）=-

1

2

m²+2m，
FN=

9

8

-（-

3

4

）=

15

8

當(dāng)PM=FN時(shí)
即：-

1

2

m²+2m=

15

8

，解得m=

3

2

，m=

5

2

（舍去）
∴當(dāng)m=

3

2

，m=

5

2

時(shí)過(guò)P、M、N、F的平面圖形不是梯形．


（3）四邊形PMNF可能是等腰梯形．
過(guò)拋物線上的點(diǎn)P′垂直于x軸的直線交AC于M′，
由于m=

3

2

時(shí)，四邊形PMNF是平行四邊形，所以PF=MN，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)m=

7

2

時(shí)，有P′F=M′N，此時(shí)梯形P′FNM′是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用