Question

半徑為r的三個圓⊙A、⊙B、⊙C兩兩外切，⊙O與這三個圓兩兩相切，則⊙O的半徑為

(

2

3

3

-1)r或(

2

3

3

+1)r

．

Answer 1

分析：分內(nèi)切與外切兩種情況，根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答：解：設(shè)待求圓半徑為x，如圖所示，
O為內(nèi)切圓圓心，A、B、C分別為半徑為r的圓的圓心，
由于三圓半徑相等，圖形具有軸對稱性，延長AO交BC與D，D也為B、C圓的切點，
易知，∠ABO=∠OBD=60°÷2=30°，
在小三角形OBD中，又有∠ODB=90°，
∴OD=

OB2-BD2

=

OB

2

，
即

(x+r)2-r2

=

x+r

2

，
計算得到：x=（

2 3

3

-1）r，
當(dāng)外切時，外切圓半徑為x=（

2 3

3

+1）r，
故答案為：（

2 3

3

-1）r或（

2 3

3

+1）r．

點評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用，正確的構(gòu)造直角三角形是解決此類問題的關(guān)鍵．