Question

14．已知如圖1梯形ADEB中，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E，點(diǎn)C在MN上，CD=BE，∠ACB=90°．
（1）求證：∠ACD=∠CBE；
（2）若DE=8，求梯形ADEB的面積；
（3）如圖2，設(shè)梯形ADEB的周長(zhǎng)為m，AB邊中點(diǎn)O處有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，沿著O→A→D→E→B→O的方向移動(dòng)，點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的3倍，當(dāng)點(diǎn)Q第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．
①兩點(diǎn)同時(shí)停止時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的路程與點(diǎn)Q移動(dòng)的路程之差＜2m（填“＜”，“＞”或“=”）
②移動(dòng)過程中，點(diǎn)P能否和點(diǎn)Q相遇？如果能，則用直線l連接相遇點(diǎn)和點(diǎn)O，并探索直線l與AB的位置關(guān)系，寫出推理過程；如果不能，寫出理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等，即可證明；
（2）只要證明△ADC≌△CEB，可得AD=CE，推出AD+BE=CD+CE=DE=8，根據(jù)S_梯形ADEB=$\frac{1}{2}$•（AD+BE）•DE計(jì)算即可；
（3）①兩點(diǎn)停止時(shí)，Q的運(yùn)動(dòng)路程=OA+AD+DE+BE，P運(yùn)動(dòng)的路程=3（OA+AD+DE+BE），路程差=2（OA+AD+DE+BE），由此即可判斷；
②結(jié)論：直線l⊥AB．只要證明相遇時(shí)，兩點(diǎn)在點(diǎn)C處即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，

（2）解：在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{CD=BE}\\{∠ADC=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，
∴AD+BE=CD+CE=DE=8，
∴S_梯形ADEB=$\frac{1}{2}$•（AD+BE）•DE=32．

（3）①解：如圖2中，

兩點(diǎn)停止時(shí)，Q的運(yùn)動(dòng)路程=OA+AD+DE+BE，P運(yùn)動(dòng)的路程=3（OA+AD+DE+BE），
路程差=2（OA+AD+DE+BE），
∵OA+AD+DE+BE＜m，
∴路程差＜2m，
故答案為＜．
②結(jié)論：直線l⊥AB．理由如下：
設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為V，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為3V，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
相遇時(shí)：3Vt-Yt=m，
∴Vt=$\frac{m}{2}$，
由（1）可知AD=CE，CD=BE，OA=OB，
∴相遇時(shí)點(diǎn)Q、點(diǎn)P在點(diǎn)C處．
∵△ADC≌△CEB，
∴AC=CB，∵OA=OB，
∴OC⊥AB，即直線l⊥AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、梯形的面積公式、路程、速度、時(shí)間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．