Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥PC于點(diǎn)D，求證：PB+PD=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）在線段CD上截取DP′=DP，由全等三角形的判定定理可得出△AP′C≌△APB，由此可得出結(jié)論．

解答：（1）解：△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中
∵∠BAC與∠CPB是

BC

所對(duì)的圓周角，∠ABC與∠APC是

AC

所對(duì)的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；

（2）證明：在線段CD上截取DP′=DP，
∵∠APC=60°，AD是PP′的垂直平分線，
∴AP=AP′，
∴△APP′是等邊三角形，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠P′AC．
在△AP′C與△APB中，
∵

AC=AB ∠P′AC=∠PAB AP′=AP

，
∴△AP′C≌△APB，
∴PB=CP′，
∴PB+PD=CP′+CP′=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解答此題的關(guān)鍵．