Question

如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∠APB=60°，連接AO，BO．
（1）

AB

所對的圓心角∠AOB=

 

度；
（2）若OA=3，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可以證得∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解；
（2）首先證明直角△OAP≌直角△OBP，然后求得△OPA的面積，即求得四邊形OAPB的面積，再求得扇形OAB的面積，即可求得陰影部分的面積．

解答：（1）解：∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°；
故答案為120°；
（2）證明：連接OP．
在Rt△OAP和Rt△OBP中，

OA=OB OP=OP

，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠OPA=∠OPB=

1

2

∠APB=30°，
在Rt△OAP中，OA=3，
∴AP=3

3

，
∴S_△OPA=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

，
∴S_陰影=2×

9 3

2

-

120π×32

360

=9

3

-3π．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．