Question

19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是過點A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）試判定：①BD=AE嗎？②DE與CE、BD的關系，并說明理由；
（2）將MN繞點A旋轉，當DE與BC相交時（交點不在B、C兩點），BD=AE嗎？畫出圖形說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由條件證明△ADB≌△CEA就可以得出結論；
②由△ADB≌△CEA可以得出AD=CE，就可以得出DE=CE+BD．
（2）由∠BAC=90°，則∠BAD+∠CAD=90°，又BD⊥MN，CE⊥MN，則∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，AAS即可證明△ABD≌△CAE；

解答 解：（1）①BD=AE．
理由：∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；
②DE=CE+BD．
理由：∵△ADB≌△CEA，
∴AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD．

（2）如圖，結論仍然成立．BD=AE．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，又AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質和等腰三角形的性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．