Question

“西氣東輸”惠及千家萬戶，使許多的農村家庭也告別了以植物秸稈為主要原料的時代，使用上了天然氣，如圖所示，天然氣的主要管道在x軸所在的位置，現擬在該主要管道上新建一氣站為圖中的A，B兩村莊的農戶供氣，請你幫助確定該供氣站建在何處時，到兩村所鋪設的管道最短，最少需要管道多少千米？

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質

專題：

分析：寫出點B關于x軸的對稱點B′的坐標，用待定系數法求得直線B′A的解析式，再求得B′A與x的交點的坐標，即題意要求的點．然后根據勾股定理即可求得AB′的長，即到兩村所鋪設的管道最短距離．

解答： 解：點B關于x軸的對稱點B′的坐標為（3，-2），
設直線B′A的解析式為y=kx+b，
得到

k+b=4 3k+b=-2

，
解得k=-3，b=7，
∴y=-3x+7，
當y=0時，x=

7

3

，即點P的坐標為（

7

3

，0）．
因為PB=PB′，所以PA+PB=PA+PB′=AB′，
根據兩點之間線段最短，AB′就是PA+PB的最小值，
AB′=

(1-3)2+(4+2)2

=2

10

（千米）
故該供氣站應建在（

7

3

，0）這個位置，到兩村所鋪設的管道最少需要2

10

千米．

點評：本題利用了軸對稱圖形的性質和用待定系數法確定函數的解析式的方法求解．兩點之間線段最短是解題的關鍵．