Question

9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
（1）AB=5；
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與邊CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F，則線段EF長(zhǎng)度的取值范圍是$\frac{12}{5}$≤EF＜4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑得出EF為圓的直徑，又圓與AB相切，設(shè)切點(diǎn)為D，可知當(dāng)CD⊥AB時(shí)，根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段最短可得CD最短，此時(shí)EF亦最小，由三角形ABC為直角三角形，根據(jù)直角三角形的三邊長(zhǎng)，利用面積法即可求出CD的長(zhǎng)，即為EF的最小值，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，EF最大，最大值為4．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+{C}^{2}}$=5，
故答案為：5；
（2）解：取EF的中點(diǎn)O，作OG⊥AB于G，CH⊥AB于H，連結(jié)OC，如圖，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∵∠ECF=90°，
∴EF為經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，
∵AB為⊙O的切線，
∴OG為⊙O的半徑，
∴EF=OC+OG，
當(dāng)OC、OG共線時(shí)，OC+OG的值最小，最小值為CH的長(zhǎng)，
∴EF的最小值為2.4，
當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，EF最大，最大值為4，
∴線段EF的取值范圍為$\frac{12}{5}$≤EF＜4．
故答案為：$\frac{12}{5}$≤EF＜4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了真相與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，垂線段最短以及切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出EF為圓的直徑，故當(dāng)CD是直徑時(shí)EF最小