Question

15．如圖，已知BD是△ABC的角平分線，DE∥AB交BC于E，EF∥AC交AB于F．
（1）求證：BE=AF；
（2）連接DF，試探究當△ABC滿足什么條件時，使得四邊形BEDF是菱形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADEF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質和等量關系即可證明結論成立；
（2）根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以解答本題．

解答 （1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵EF∥AC，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴AF=DE，
∴AF=BE；
（2）解：當AB=BC時，四邊形BEDF是菱形，理由如下：
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠BFE，∠C=∠BFE，
∴∠BFE=∠BFE，
∴BF=BE，
∵DE=BE，
∴BF=DE，
∵DE∥AB，
∴四邊形BEDF是菱形．

點評 本題考查平行四邊形的判定與性質、菱形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的需要的條件，利用平行四邊形的判定與性質、菱形的判定解答．