Question

13．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點E，AD=8cm＜BC=4cm，AB=5cm，從初始時刻開始，動點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，動點P沿A--B--C--E的方向運動，到點E停止；動點Q沿B--C--E--D的方向運動，到點D停止，設(shè)運動時間為xs，△PAQ的面積為ycm²，（這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形）解答下列問題：
（1）當x=2s時，y=2cm²；當x=$\frac{9}{2}$s時，y=9cm²；
（2）當5≤x≤14時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有x的值．

Answer 1

分析 （1）當x=2s時，AP=2，BQ=2，利用三角形的面積公式直接可以求出y的值，當x=$\frac{9}{2}$s時，三角形PAQ的高就是4，底為4.5，由三角形的面積公式可以求出其解．
（2）當5≤x≤14 時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．要分為三種不同的情況進行表示：當5≤x≤9時，當9＜x≤13時，當13＜x≤14時．
（3）利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)線段成比例就可以求出對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）當x=2s時，AP=2，BQ=2
∴y=2
當x=$\frac{9}{2}$s時，AP=4.5，Q點在EC上
∴y=9
故答案為：2；9
（2）當5≤x≤9時
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（5+x-4）×4-$\frac{1}{2}$×5（x-5-$\frac{1}{2}$（9-x）（x-4）
y=$\frac{1}{2}$x²-7x+$\frac{65}{2}$
當9＜x≤13
y=$\frac{1}{2}$（x-9+4）（14-x）
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{19}{2}$x-35
當13＜x≤14時
y=$\frac{1}{2}$×8（14-x）
y=-4x+56；
（3）設(shè)運動時間為x秒，
當PQ∥AC時，BP=5-x，BQ=x，
此時△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{5-x}{5}=\frac{x}{4}$，
解得x=$\frac{20}{9}$；
當PQ∥BE時，PC=9-x，QC=x-4，
此時△PCQ∽△BCE，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CE}$，
∴$\frac{9-x}{4}=\frac{x-4}{5}$，
解得x=$\frac{61}{9}$；
當PQ∥BE時，EP=14-x，EQ=x-9，
此時△PEQ∽△BAE，
∴$\frac{EP}{AB}=\frac{EQ}{AE}$，
∴$\frac{14-x}{5}=\frac{x-9}{4}$，
解得x=$\frac{101}{9}$．
由題意得x的值為：x=$\frac{20}{9}$、$\frac{61}{9}$或$\frac{101}{9}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了函數(shù)關(guān)系式表示變化過程中三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，梯形的面積，解本題的關(guān)鍵是分段．