Question

20．已知拋物線C₁：y=-x²+4x-3，把拋物線C₁先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C₂，將拋物線C₁和拋物線C₂這兩個(gè)圖象在x軸及其上方的部分記作圖象M．若直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）與圖象M至少有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是0≤k＜10-$\sqrt{86}$．

Answer 1

分析 首先配方得出二次函數(shù)頂點(diǎn)式，求得拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用二次函數(shù)平移規(guī)律得出拋物線C₂，求得直線與兩個(gè)拋物線相切時(shí)的k的值，即可解決問(wèn)題．

解答 解：y=-x²+4x-3
=-（x-2）²+1，
∴頂點(diǎn)（2，1）
則將拋物線y=-x²+4x-3先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的新的拋物線的解析式為：y=-（x-5）²+4=-x²+10x-21．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-4）x+$\frac{7}{2}$=0，
由題意△=0，（k-4）²-14=0，
解得k=4-$\sqrt{14}$或4+$\sqrt{14}$（舍棄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=-{x}^{2}+10x-21}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-10）x+$\frac{43}{2}$=0，
由題意△=0，（k-10）²-86=0，
∴k=10-$\sqrt{86}$或10+$\sqrt{86}$（舍棄），
∵直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）與圖象M至少有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
觀察圖象可知，則k的取值范圍是0≤k＜10-$\sqrt{86}$

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二元二次方程組，一元二次方程的根的判別式，構(gòu)建方程組，利用一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．