Question

3．已知關(guān)于x的一元二次方程kx²+x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且滿足x₁²+x₂²+3x₁•x₂=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=1²-4k•（-2）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-$\frac{1}{k}$，x₁x₂=-$\frac{2}{k}$，再變形x₁²+x₂²+3x₁•x₂=3得到（x₁+x₂）²+x₁•x₂=3，所以（-$\frac{1}{k}$）²-$\frac{2}{k}$=3，然后解方程后利用（1）中的范圍確定滿足條件的k的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得k≠0且△=1²-4k•（-2）＞0，
解得k＞-$\frac{1}{8}$且k≠0；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=-$\frac{1}{k}$，x₁x₂=-$\frac{2}{k}$，
∵x₁²+x₂²+3x₁•x₂=3，
∴（x₁+x₂）²+x₁•x₂=3，
∴（-$\frac{1}{k}$）²-$\frac{2}{k}$=3，
整理得3k²+2k-1=0，解得k₁=$\frac{1}{3}$，k₂=-1，
∵k＞-$\frac{1}{8}$且k≠0，
∴k=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．