Question

如圖，菱形ABCD的邊長為8cm，∠BAD=120°，半徑為

3

cm的⊙O在其內部逆時針連續(xù)滾動，且總是保持與菱形ABCD的邊相切，當⊙O第一次回到起始位置時，圓心O所走過的路程長度為

 

cm．

Answer 1

考點：軌跡

專題：

分析：求得當⊙O和∠B的兩邊相切到與∠C的兩邊相切時，兩種情況下兩個切點之間的距離，即圓心移動的距離，則滾動一周的路程即可求解．

解答：解：當圓在⊙O的位置是，連接OB，連接O和切點E．
∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBE=30°，
∴BE=

OE

tan∠OBE

=

3

3 3

=3（cm）；
當⊙O在⊙O'時，∠O'CF=60°，
則CF=

O′F

tan∠O′CF

=

3

tan60°

=1（cm），
則EF=8-3-1=4（cm），
則當⊙O第一次回到起始位置時，圓心O所走過的路程長度為4×4=16（cm）．
故答案是：16．

點評：本題考查切線長定理以及三角函數，正確求得BE和CF的長度是關鍵．