Question

12．如圖，在△ABC上，點D、E分別是AC、BC邊上的點，AE與BD交于點O，且CD=CE，∠1=∠2．
（1）求證：四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CDE=∠CED，由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠AED=∠BDE，證出OD=OE，由AAS證明△AOD≌△BOE，得出AD=BE，OA=OB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB=∠OBA，再由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，證出DE∥AB，即可得出結(jié)論；
（2）由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠1=∠OED，證出AD=ED=BE=1，由平行線的性質(zhì)得出△CDE∽△CAB，得出對應邊成比例，即可得出AB的長．

解答 （1）證明：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠2+∠AED，∠CED=∠1+∠BDE，∠1=∠2，
∴∠AED=∠BDE，
∴OD=OE，
在△AOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{∠AOD=∠BOE}&{\;}\\{OD=OE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴AD=BE，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AOD=∠BOE，
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，
∴DE∥AB，
∴四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）解：∵∠AOD=2∠1=∠ODE+∠OED，∠OED=∠ODE，
∴∠1=∠OED，
∴AD=ED=BE=1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{BC}$，
即$\frac{1}{AB}=\frac{2}{1+2}$，
解得：AB=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰梯形的判定，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．