Question

如圖，拋物線y=-x²+x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．
（1）求A、B、C、D的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E（m，n）是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標，令x=0，求出y的值，即可得到點C的坐標，求出拋物線對稱軸，然后寫出點D的坐標；
（2）利用勾股定理求出CD，然后分①點C是頂角頂點時，利用等腰三角形三線合一的性質求解，②點D是頂角頂點時，分點P在點D的上方和下方兩種情況寫出點P的坐標；
（3）利用待定系數法求一次函數解析式求出直線BC的解析式，表示出EF，再根據S_△CBF=S_△CBE+S_△BEF列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）令y=0，則-x²+x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
所以，A（-1，0），B（2，0），
令x=0，則y=2，
所以，點C（0，2），
對稱軸為直線x=-

1

2×(-1)

=

1

2

，
所以，點D（

1

2

，0）；

（2）由（1）可知，OC=2，OD=

1

2

，
所以，CD=

22+( 1 2 )2

=

17

2

，
①點C是頂角頂點時，由等腰三角形三線合一的性質得，點P的縱坐標為點C的2倍，即2×2=4，
所以，點P的坐標為（

1

2

，4），
②點D是頂角頂點時，若點P在點D的上方，則P（

1

2

，

17

2

），
若點P在點D的下方，則P（

1

2

，-

17

2

）；
綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P（

1

2

，4）或（

1

2

，

17

2

）或（

1

2

，-

17

2

），使△PCD是以CD為腰的等腰三角形；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，
則

b=2 2k+b=0

，
解得

k=-1 b=2

，
所以，直線BC的解析式為y=-x+2，
∵點E（m，n）是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，
∴EF=-m²+m+2-（-m+2）=-m²+2m，
∴S_△CBF=S_△CBE+S_△BEF，
=

1

2

（-m²+2m）×2，
=-m²+2m，
=-（m-1）²+1，
∴當m=1時，△CBF的面積最大為1，
此時，n=-1+2=1，
所以，點E的坐標為（1，1）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數與坐標軸的交點的求解，勾股定理，等腰三角形的性質，三角形的面積，二次函數的最值問題，難點在于（2）分情況討論，（3）把△CBF的面積的面積分成兩個三角形列式整理是解題的關鍵．