Question

11．已知，如圖，拋物線y=ax2+x+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0）．
（1）試確定拋物線的函數(shù)表達式；
（2）已知點C是拋物線在x軸上方的動點，求△OBC的面積的最大值，并求出此時點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點P是線段BC上的動點，求當△OPC與△OBC相似時的P點坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A和點B的坐標拋物線的解析式得到關于a、c的方程組，從而可求得a、c的值，故此可得到拋物線的解析式；
（2）先利用配方法求拋物線的頂點坐標，當點C在x軸上方移動時，點C的縱坐標最大時，三角形的面積最大，故此可知點C為拋物線的頂點（1，2），然后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）過點C作PD⊥x軸，垂足為D，過點P作PE⊥x軸，垂足為E．由點C的坐標為可得到CD=2，由兩點間的距離公式可知：CO=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，由相似三角形的判斷定理可知當$\frac{CP}{OC}$=$\frac{OC}{BC}$時，△OBC∽△POC，于是可求得PC的長，然后在Rt△PEB中，可求得PE、BE的長，由OE=OB-EB可求得OE的長，故此可得到點P的坐標．

解答 解：（1）將點A和點B的坐標拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=1}\\{9a+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{3}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$．

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2．
∴拋物線的頂點坐標為（1，2）．
由題意可知，當點C到x軸的距離最大時，△OBC的面積取得最大值，
∴點C為拋物線的頂點（1，2）．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

（3）如圖所示：過點C作PD⊥x軸，垂足為D，過點P作PE⊥x軸，垂足為E．

∵點C的坐標為（1，2），
∴CD=2．
依據(jù)兩點間的距離公式可知：CO=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$．
∵∠PCO=∠OCP，
∴當$\frac{CP}{OC}$=$\frac{OC}{BC}$時，△OBC∽△POC，
∴CP=$\frac{O{C}^{2}}{BC}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
∴PB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∵CD=BD，∠CDB=90°，
∴∠CBD=45°．
又∵∠PEB=90°，
∴∠EPB=45°．
∴PE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=$\frac{3}{4}$．
∴OE=OB-BE=$\frac{9}{4}$．
∴點P的坐標為（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

點評 .本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最大值、三角形的面積公式、相似三角形的判定，找出△OBC∽△POC的條件是解題的關鍵．