Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E，交∠ACB外角的平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由．
（3）若∠BAC=45°，四邊形AECF是正方形，求AO：BC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的對(duì)角線相互垂直平分且相等的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答：（1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）∵四邊形AECF是正方形，
∴AC⊥EF，AC=EF，且AO=

1

2

AC，
又∵∠BAC=45°，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴BC=AC．
∴AO：BC=AO：AC=1：2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識(shí)，根據(jù)已知得出∠ECF=90°是解題關(guān)鍵．