Question

6．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F．則線段EF的最小值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．

解答 解：連接CD，當(dāng)CD⊥AB時，CD取得最小值，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時，CD的最小值為2$\sqrt{3}$．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，
∴CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠EFD+∠CED=90°，∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴線段EF的最小值為4$\sqrt{3}$，
故答案為4$\sqrt{3}$

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題、軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出CD的最小值，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考�？碱}型．