Question

已知A（-1，0），B（0，2），AC⊥AB且AC=AB．
（1）求C點的坐標；
（2）如圖②點M在BC的延長線上，且AM=AN，AM⊥AN，問CM與BN存在怎樣的關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）作CD⊥OA延長線于點D，易證∠CAD=∠ABO，即可證明△CDA≌△AOB，即可解題；
（2）易證∠MAC=∠NAB，即可證明△MAC≌△NAB，可得CM=BN，∠M=∠N，可證CM⊥BN，即可解題．

解答：解：（1）作CD⊥OA延長線于點D，

∵∠CAD+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△CDA和△AOB中，

∠CDA=∠AOB ∠CAD=∠ABO AC=AB

，
∴△CDA≌△AOB（AAS），
∴CD=AO，AD=BO，
∴點C坐標為（-3，1）；
（2）如圖②，

∵∠MAC+∠CAN=90°，∠CAN+∠NAB=90°，
∴∠MAC=∠NAB，
在△MAC和△NAB中，

AC=AB ∠MAC=∠NAB AM=AN

，
∴△MAC≌△NAB（SAS），
∴CM=BN，∠M=∠N，
∵∠M+ADM=90°，∠ADM=∠BDN，
∴∠BDN+∠N=90°，
∴CM⊥BN，
∴CM與BN的關(guān)系為垂直且相等．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△CDA≌△AOB和△MAC≌△NAB是解題的關(guān)鍵．