Question

如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長100米，高8米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：

3

．
（1）求加固后壩底增加的寬度AF；
（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？（結果保留根號）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題

專題：

分析：（1）分別過E、D作AB的垂線，設垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據(jù)坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出水平寬FG的長；同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH-AH求出AF的長．
（2）已知梯形AFED的上下底和高，易求得其面積，梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．

解答：解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．         
∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行等于EG．                                          
故四邊形EGHD是矩形．                                      
∴ED=GH．                                                
在Rt△ADH中，
AH=DH=8（米）．                         
在Rt△FGE中，
i=

1

3

=

EG

FG

，
∴FG=

3

EG=8

3

（米）．                                       
∴AF=FG+GH-AH=8

3

+3-8=8

3

-5（米）；

（2）∵S_梯形ADEF=

(3+8 3 -5)×8

2

=（32

3

-8）（米²），
∴加寬部分的體積V=S_梯形ADEF×壩長=（32

3

-8）×100=（3200

3

-800）（米³）．
答：完成這項工程需要土石（3200

3

-800）米³．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是理解坡度、坡比的含義，構造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關線段的長度，難度一般．