Question

6．如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分線交BC于點F，交AB的延長線于點G，過點C作CE⊥DG，垂足為E，CE=2，則△BFG的周長為4+$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用已知條件可證明△ADE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出DE=2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的長；然后，證明△ADE∽△BFE，再分別求出△ADE的周長，然后根據(jù)周長比等于相似比即可得到答案．

解答 解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE；，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠CDF=∠DFC，
∴CD=CF=6，
∵CE⊥DG，
∴DF=2DE，
在Rt△CDE中，∵∠DEC=90°，CD=6，CE=2，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴DF=2DE=8$\sqrt{2}$；
∴△CDF的周長=12+8$\sqrt{2}$，
∵CF=6，BC=AD=8，
∴BF=BC-CF=8-6=2，
∴CF：BF=6：2=3：1．
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△BFG，
∴△CDF的周長：△BFG的周長=CF：BF=3：1，
則△BFG 周長=4+$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：4+$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．