Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，在射線BC上取一點(diǎn)E，使CE=CD，連接DE．
（1）求∠CED的度數(shù)；
（2）用尺規(guī)在圖中作出一個(gè)15°的角，并使它的一邊在已知圖中的線段或射線上，并簡要說明理由；
（3）求S_△ABC：S_△CDE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=60°，由CE=CD可知∠E=∠EDC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）尺規(guī)作圖作∠CED的平分線即可；
（3）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，根據(jù)題意求得，CE=

1

2

BC，DN=

1

2

AM，根據(jù)三角形的面積公式即可求得；

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形 （已知），
∴∠ACB=60°（等邊三角形性質(zhì)）．
∵CE=CD（已知），
∴∠CED=∠EDC（等邊對等角）．
∵∠ACB=∠CED+∠EDC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠CED=30°．
（2）如圖所示：∠DEF=15°

∵∠CDE=30°，EF是∠CED的平分線，
∴∠DEF=

1

2

∠CED=15°，
（3）∵BD為等邊△ABC中線，CE=CD，
∴BD⊥AC，CE=

1

2

BC，

作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
∴AM∥DN，
∴DN=

1

2

AM，
∴

S△ABC

S△CDE

=

1 2 BC•AM

1 2 CE•DN

=

1 2 BC•AM

1 2 × 1 2 BC× 1 2 AM

=

4

1

，
∴S_△ABC：S_△CDE=4：1．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及尺規(guī)作圖，三角形的面積等，熟練掌握性質(zhì)和定理是本題的關(guān)鍵．