Question

5．如圖，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，DE⊥AB，交AC于點F，則EF=$\frac{21}{20}$．

Answer 1

分析 根據(jù)“菱形的面積等于對角線乘積的一半”可以求得該菱形的面積．菱形的面積還等于底乘以高，求出可得DE的長度，再由勾股定理求出AE，證明△AEF∽△AOB，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出EF的長．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，AB=AD，
∴AC⊥OD，AO=$\frac{1}{2}$AC=4，BO=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴由勾股定理得到：AD=AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5，
又∵DE⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE．
∴DE=$\frac{AC•BD}{2AB}$=$\frac{8×6}{2×5}$=$\frac{24}{5}$．
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵∠AOB=∠AEF=90°，∠EAF=∠OAB，
∴△AEF∽△AOB，
∴$\frac{EF}{BO}=\frac{AE}{AO}$，
即$\frac{EF}{3}=\frac{\frac{7}{5}}{4}$，
解得：EF=$\frac{21}{20}$；
故答案為：$\frac{21}{20}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形面積的計算；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．