Question

如圖，直線AB經(jīng)過圓O的圓心，與圓O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O上，且∠AOC=30°，點(diǎn)P是直線AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），直線PC與圓O相交于點(diǎn)Q．如果QP=QO，則∠OCP的度數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：分類討論

分析：分類討論：如圖1，設(shè)∠QOC=x，則∠QOP=x+30°，由QO=QP得到∠QPO=∠QOP=x+30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠QCO=∠COP+∠CPO=x+60°，而OQ=OC，所以∠OQC=∠OCQ=x+60°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，再利用∠OCP=∠QOC+∠OQC進(jìn)行計算即可；
利用同樣的方法，解決如圖2，如圖3的情況．

解答：解：如圖1，

設(shè)∠QOC=x，則∠QOP=x+30°，
∵QO=QP，
∴∠QPO=∠QOP=x+30°，
∴∠QCO=∠COP+∠CPO=30°+x+30°=x+60°，
∵OQ=OC，
∴∠OQC=∠OCQ=x+60°，
∴x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，
∴∠OCP=∠QOC+∠OQC=20°+20°+60°=100°；
如圖2，

設(shè)∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠CQO=2x，
而OC=OQ，
∴∠C=2x，
∵∠AOC=∠APC+∠C，
∴x+2x=30°，解得x=10°，
∴∠OCP=2x=20°；
如圖3，

設(shè)∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠Q=180°-2x，
∵OQ=OC，
∴∠C=180°-2x，
∵∠OPQ=∠C+∠POC，
∴180°-2x+30°=x，解得x=70°，
∴∠OCP=180°-2×70°=40°，
綜上所述，∠OCP的度數(shù)為20°、40°或100°．
故答案為：20°、40°或100°．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．