Question

已知：點(diǎn)A，C，E為⊙O上的點(diǎn)，且

CA

=

CE

．
   （1）如圖1，求證：CO⊥AE；
   （2）如圖2，AB為⊙O直徑，CD垂直AB于D，若AE=4BD，求tan∠CAE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：

分析：（1）連接AC，OA，OE，延長CO交AE于D，由

CA

=

CE

，可得AC=CE，進(jìn)而得到：∠CAE=∠CEA，即∠1+∠5=∠4+∠6，由同圓的半徑相等可得OA=OC=OE，然后由等邊對(duì)等角可得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，進(jìn)而可得∠1=∠4，從而可得∠2=∠3，然后由等腰三角形的三線合一即可證明CO⊥AE；
（2）設(shè)CO的延長線角AE于H，連接BC，由對(duì)頂角相等及三角形內(nèi)角和定理可得：∠2=∠4，然后由等邊對(duì)等角可得：∠3=∠5，進(jìn)而可得：∠DCA=∠HAC，進(jìn)而根據(jù)AAS可證Rt△CAD≌Rt△ACH，從而可得：CD=AH，然后由AH=

1

2

AE，AE=4BD，可得：CD=2BD，然后由同角的余角相等及等量代換可得：∠1=∠CAE，最后在Rt△BCD中，由tan∠1=

CD

BD

=2，可得：tan∠CAE=tan∠1=2．

解答：證明：連接AC，OA，OE，延長CO交AE于D，如圖1，

∵

CA

=

CE

，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
即∠1+∠5=∠4+∠6，
∵OA=OC=OE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
∵AC=CE
∴CO⊥AE；
（2）設(shè)CO的延長線角AE于H，連接BC，如圖2，

由（1）知，CO⊥AE，
∵CD垂直AB于D，
∴∠CDB=∠CDO=∠AHO=90°，
∵∠6=∠7，
∴∠2=∠4，
∵OA=OC，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
即∠DCA=∠HAC，
在Rt△CAD和Rt△ACH中，
∵

∠CDO=∠AHO ∠DCA=∠HAC AC=CA

，
∴Rt△CAD≌Rt△ACH，
∴CD=AH，
∵AH=

1

2

AE，
∴CD=

1

2

AE，
∵AE=4BD，
∴CD=2BD，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠1+∠8=90°，∠4+∠5+∠8=90°，
∴∠1=∠4+∠5，
∴∠1=∠2+∠3，
即∠1=∠CAE，
在Rt△BCD中，
∵tan∠1=

CD

BD

=2，
∴tan∠CAE=tan∠1=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，及銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．