Question

14．如圖，在△ABC中，AB=6$\sqrt{5}$，AC=12，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA，CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（　�。�

• A． 6
• B． 12
• C． $\frac{12\sqrt{5}}{5}$
• D． 6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 找出PQ的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD，連接CF，CD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三邊關(guān)系知，CF+FD＞CD；只有當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，F(xiàn)C+FD=PQ有最小值為CD的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)由直角三角形ABC的面積等于兩直角邊乘以的一半來求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD來求出，根據(jù)面積相等可得出CD的長(zhǎng)，即為線段PQ長(zhǎng)度的最小值．

解答 解：線段PQ長(zhǎng)度的最小值時(shí)，PQ為圓的直徑，
如圖，設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD、CF、CD，

∵圓F與AB相切，
∴FD⊥AB，
∵AB=6$\sqrt{5}$，AC=12，BC=6，
∴∠ACB=90°，F(xiàn)C+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ為圓F的直徑，
∵當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值，即CD為圓F的直徑，
且S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•CA=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴PQ=CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×12}{6\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，垂線段最短，圓周角定理，以及直角三角形面積的求法，其中根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD為最小值是解本題的關(guān)鍵．