Question

5．如圖，點A（a，b）是雙曲線y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上的一點，點P是x軸負半軸上的一動點，AC⊥y軸于C點，過A作AD⊥x軸于D點，連接AP交y軸于B點．
（1）△PAC的面積是4；
（2）當a=2，P點的坐標為（-2，0）時，求△ACB的面積；
（3）當a=2，P點的坐標為（x，0）時，設△ACB的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關系．

Answer 1

分析 （1）由點A（a，b）是雙曲線y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上，得到ab=8，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，就看得到△PAC的面積=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$ab=4；
（2）先求出直線AP的解析式為y=x+2，得到B（0，2），即可求出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×2×2$=2；
（3）求出直線AP的解析式為y=$\frac{4x}{2-x}$-$\frac{4x}{2-x}$，得到B（0，-$\frac{4x}{2-x}$），代入三角形的面積公式即可求出S=$\frac{1}{2}$×2×（-$\frac{4x}{2-x}$）=-$\frac{4x}{2-x}$．

解答 解：（1）∵點A（a，b）是雙曲線y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上，
∴ab=8，
∵AC⊥y軸于C點，AD⊥x軸于D點，
∴AC=a，AD=b，
∴△PAC的面積=$\frac{1}{2}$AD•AC=$\frac{1}{2}$ab=4；
故答案為：4；

（2）∵a=2，
∴b=4，
∴AC=2，AD=4，A（2，4），
設直線AP的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=x+2，
∴B（0，2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×2×2$=2；

（3）同理直線AP的解析式為y=$\frac{4x}{2-x}$-$\frac{4x}{2-x}$，
∴B（0，-$\frac{4x}{2-x}$），
∴BC=4+$\frac{4x}{2-x}$=$\frac{8}{2-x}$
∴S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{2-x}$=$\frac{8}{2-x}$．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，正確理解k的幾何意義是解題的關鍵．