Question

14．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，四邊形OCDB為正方形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段CD上一動點(diǎn)，以每秒2單位的速度由點(diǎn)C向終點(diǎn)D運(yùn)動，連接OP，取OP的中點(diǎn)M，CD交拋物線于點(diǎn)E，連接EM，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t，△PME的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接MD，直線y=mx-6經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)N為直線y=mx-6上一點(diǎn)，當(dāng)∠DMN=90°，BN=2$\sqrt{2}$時，在x軸上方的拋物線上存在點(diǎn)Q，使△AOQ的面積等于△PME的面積，求此時Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)C（0，6），B（6，0），然后將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值；
（2）將y=6代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，當(dāng)0≤t≤4時，PE=4-t，當(dāng)4＜t≤6時，PE=6-t，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=mx-6可求得m的值，從而得到直線BN的解析式為y=x-6，接下來，由BN=2$\sqrt{2}$，可得到N的坐標(biāo)為（8，2）或（4，-2），當(dāng)N的坐標(biāo)為（8，2）時，∠MDN＜90°，不和題意；當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-2）時，依據(jù)勾股定理的逆定理列出關(guān)于t的方程，從而可求得t的值，然后可得到△PEM的面積，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得Q的縱坐標(biāo)，最后，將點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形OCDB為正方形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，6），
∴C（0，6），B（6，0）．
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×36+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
（2）將y=6代入拋物線的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=6，解得x=0或x=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，6）．
當(dāng)0≤t≤4時，如圖1所示：則PE=4-t．

∵M(jìn)為OP的中點(diǎn)，
∴M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$t，3）．
∴△PEM的面積=$\frac{1}{2}$×3×（4-t）=-$\frac{3}{2}$t+6．
當(dāng)4＜t≤6時，如圖2所示：PE=6-t．

∴△PEM的面積=$\frac{1}{2}$×3×（t-4）=$\frac{3}{2}$t-6．
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}t+6（0≤t≤4）}\\{\frac{3}{2}t-6（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．
（3）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=mx-6得：6m-6=0，解得m=1，
∴直線BN的解析式為y=x-6．
又∵BN=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8，2）或（4，-2）．
當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8，2）時，∠MDN＜90°，不和題意；
當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-2）時，如圖3所示：

∵點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$t，3），D（6，6），N（4，-2），∠DMN=90°，
∴MD²+MN²=DN²，即（6-$\frac{1}{2}$t）²+（6-3）²+（4-$\frac{1}{2}$t）²+（-2-3）²=2²+8²，
整理得：t²-20t+36=0，解得：t=2或t=18（舍去）．
當(dāng)t=2時，S=-$\frac{3}{2}$t+6=3，即△PEM的面積為3．
將y=0代入拋物線的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=0，解得：x=-2或x=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
∴OA=2．
∴$\frac{1}{2}$×AO×Q_y=3，即$\frac{1}{2}$×2×Q_y=3，解得：Q_y=3．
將y=3代入拋物線的解析式得：-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=3，整理得：x²-4x-6=0，
解得：x=$\sqrt{10}$+2或x=-$\sqrt{10}$+2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{10}$+2，3）或（-$\sqrt{10}$+2，3）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．