Question

10．如圖，在矩形ABCD中，△CEF為等腰直角三角形．
（1）求證：AE=AB；
（2）若矩形ABCD的周長為16cm，DE=2cm，求△CEF的面積．

Answer 1

分析 （1）由△CEF為等腰直角三角形，得出CE=EF，∠CED+∠FEA=90°，推出∠FEA=∠DCE，由AAS證得△CDE≌△AEF，得出CD=AE，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)CD=x，利用矩形的性質(zhì)可得x+x+2=$\frac{1}{2}$×16，解得CD的長，根據(jù)勾股定理求得CE²，即可求得△DEF的面積．

解答 （1）證明：∵△CEF為等腰三角形，
∴CE=EF，∠CED+∠FEA=90°，
又∵∠CED+∠DCE=90°，
∴∠FEA=∠DCE，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB，
在△CDE和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEA=∠DCE}\\{∠A=∠D}\\{EF=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△AEF（AAS）．
∴CD=AE，
∴AE=AB；
（2）解：設(shè)CD=x，根據(jù)題意得：CD+AD=x+x+2=$\frac{1}{2}$×16，
解得x=3，即CD=3，
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²=3²+2²=13，
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{1}{2}$CE²=$\frac{1}{2}$×13=6.5；
∴△DEF的面積為6.5．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計算等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．